roebenack.com

Beobachter dienen der Ermittlung schlecht oder nicht messbarer Prozessgrößen. Derartige Einrichtungen zur modellbasierten Rekonstruktion von Prozessgrößen werden mitunter auch als Software-Sensoren bezeichnet. Die zugrunde liegenden Modelle sind nichtlinear. Es werden sowohl klassische Zustandsbeobachter als auch Beobachter zur Rekonstruktion der Eingangssignale untersucht. Die entwickelten Entwurfsverfahren kombinieren differential-geometrische Zugänge mit High-Gain-Ansätzen.

Zustandsbeobachter

Approximative Linearisierung des Beobachtungsfehlers

Der Beobachterentwurf gestaltet sich besonders einfach, wenn das System in die Beobachter-Normalform transformiert werden kann. In dieser Normalform treten die Nichtlinearitäten nur als Ausgangsaufschaltung in Abhängigkeit vom gemessenen Ausgang (und ggf. dem gemessenen Eingang) auf. Diese Entwurfsmethodik wurde 1983 von Bestle und Zeitz (Bestle, D.; Zeitz, M.: Canonical form observer design for non-linear time-variable systems. Int. J. Control, 1983, 38, 419-431) sowie von Krenen und Isidori (Krener, A. J.; Isidori, A.: Linearization by output injection and nonlinear observers. Systems & Control Letters, 1983, 3, 47-52) vorgestellt. Die Schwierigkeit besteht in den restriktiven Existenzbedingungen der Beobachter-Normalform bzw. ihrer komplizierten Berechnung. Als Ausweg bietet sich der erweiterte Luenberger-Beobachter an, bei dem die Fehlerdynamik in der Normalform linearisiert wird (Zeitz, M.: The extended Luenberger observer for nonlinear systems. Systems & Control Letters, 1987, 9, 149-156). Dieser Ansatz wurde auf eine beliebige Approximationsordnung erweitert. Außerdem konnten globale Konvergenzbedingungen für den erweiterten Luenberger-Beobachter angegeben werden.

Nichtlineare Beobachter-Normalform mit Ausgangstransformation

Veröffentlichungen:

• Röbenack, K.; Lynch, A. F.: An efficient method for observer design with approximately linear error dynamics.
  International Journal of Control, 2004, 77, 607-612
• Röbenack, K.: Entwurfsmethodik für einen approximativen Normalform-Beobachter.
  Proc. in Applied Mathematics and Mechanics, 2004, 4, 137-138
• Röbenack, K.: Approximate Observer Error Linearization for Multi-Output Systems.
  Preprints of the 16th IFAC World Congress, Prague, Czech Republic, July 3-8, 2005
• Röbenack, K.: Direct Approximation of Observer Error Linearization for Nonlinear Forced Systems.
  IMA Journal of Mathematical Control and Information, 2007, 24, 551-566
• Röbenack, K.: Entwurf nichtlinear Beobachter mit linearer und näherungsweise linearer Fehlerdynamik.
  Automatisierungstechnik, 2010, 58, 489-497

Beobachterentwurf mittels partieller Linearisierung

Die Existenzbedingungen für eine exakte Linearisierung des Beobachtungsfehlers sind sehr restriktiv und daher in vielen praktischen Anwendungsfällen nicht erfüllt. Als Alternative bietet sich in diesen Fällen eine partielle Linearisierung da, d.h. eine Linearisierung bezogen auf eine geeignete Untermannigfaltigkeit des Zustandsraums.

Partielle Beobachter-Normalform

Veröffentlichungen:

• Röbenack, K.: Zum High-Gain-Beobachterentwurf für eingangs-ausgangs-linearisierbare SISO-Systeme.
  Automatisierungstechnik, 2004, 52, 481-488
• Röbenack, K.; Lynch, A. F.: Observer Design Using a Partial Nonlinear Observer Canonical Form.
  Applied Mathematics and Computer Science, 2006, 16, 333-343
• Röbenack, K.: Extended Luenberger Observer for Nonuniformly Observable Nonlinear Systems.
  In: Meurer, T.; Graichen, K.; Gilles, E. D. (Hrsg.), Control and Observer Design for Nonlinear Finite and Infinite Dimensional Systems, Springer, 2006, 322, 19-34
• Röbenack, K.: Observer Design for a Class of Nonlinear Systems with Non-Full Relative Degree.
  Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 2007, 7, 399-408

High-Gain-Beobachter

Die Idee der High-Gain-Beobachter besteht darin, mit einer ausreichend starken linearen Fehleraufschaltung die Nichtlienaritäten des zu beobachtenden Systems zu dominieren. Dieser Ansatz wurde F. E. Thau zurück (Thau, F. E.: Observing the state of nonlinear dynamical systems. Int. J. Control, 1973, 17, 471-479).

Veröffentlichungen:

• Röbenack, K.: Zum High-Gain-Beobachterentwurf für eingangs-ausgangs-linearisierbare SISO-Systeme.
  Automatisierungstechnik, 2004, 52, 481-488.
• Röbenack, K.: Computation of High Gain Observers for Nonlinear Systems using Automatic Differentiation.
  Journal Dynamic Systems, Measurement, and Control, 2005, 127, 160-162.
• Röbenack, K.: High Gain Observers Using an Approximate Observer Normal Form.
  Proc. in Applied Mathematics and Mechanics, 2006, 6, 837-838.
• Röbenack, K.; Lynch, A. F.: High-Gain nonlinear observer design using the observer canonical form.
  IET Control Theory & Applications, 2007, 1, 1574-1579.

Beobachterentwurf für Zellmodelle

Ein vielversprechendes Anwendungsgebiet dieser Techniken ist die Zellbiologie. Die dort auftretenden Modelle zeichnen sich durch außerordentlich komplizierte Nichtlinearitäten aus. Die direkte Messung verschiedener Größen (z.B. Ionenströme durch eine Zellmembran) beeinflussen die Wechselwirkung der Zelle mit anderen Zellen. Zur Schätzung solcher Größen wurden Beobachter/Filter-Kombinationen vorgeschlagen bzw. Residuengeneratoren eingesetzt.

Potentialmessung an der Zellmembran

Veröffentlichungen:

• Röbenack, K.; Goel, P.: Observer Based Measurement of the Input Current into A Neuron.
  Mediterranean Journal of Measurement and Control, 2007, 3, 22-29
• Röbenack, K.; Goel, P.: A combined observer and filter based approach for the determination of unknown parameters.
  International Journal of Systems Science, 2009, 40, 213-221
• Röbenack, K.: Residual Generator based Measurement of the Current Input into a Cell.
  Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 2009, 9, 425-434
• Röbenack, K.: Observer based measurement of the Adenosine Diphosphate concentration in multimodal oscillatory pancreatic β-cells.
  Proc. 18th IEEE Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES2010), 2010, 54-57