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Deskriptorsysteme

Fr, 10/21/2011 - 17:59 – admin

Bei vielen technischen Systemen führt die Modellierung in sehr natürlicher Weise auf Kombinationen von gewöhnlichen Differentialgleichungen und algebraischen Nebenbedingungen. Die Differentialgleichungen entstehen z. B. durch die Strom-Spannungs-Relationen von Kapazitäten und Induktivitäten oder durch die Bewegungsgleichungen bei mechanischen Systemen. Als algebraische Nebenbedingungen kommen u. a. die Kirchhoffschen Gesetze (Knotensatz, Maschensatz) in Frage oder holonome bzw. nichtholonome Zwagsbedingungen. Man spricht dann von Deskriptorsystemen bzw. Differential-algebraischen Gleichungen (engl. differential-algebraic equations, DAEs). Aus mathematischer Sicht handelt es sich um implizite gewöhnliche Differentialgleichungen.

Buchveröffentlichung:

Systemstruktur und struktureller Index

Bei Deskriptorsystemen können Phänomene auftreten, die bei Zustandsraumdarstellungen prinzipiell nicht möglich sind. Unter bestimmten Umständen können beispielsweise kleine Störungen am Eingang beliebig große Fehler in der Lösung verursachen. Eine Größe, die wesentliche Probleme des konkreten Deskriptorsystems qualitativ beschreibt, ist der Index. Bei genauerer Betrachtung ist der Index nur eine Größe unter verschiedenen Strukturindizes, die sich im Falle linearer zeitinvarianter Systeme durch die Weierstraß- bzw. Kronecker-Normalform beschreiben lassen. Diese Normalformen können als Verallgemeinerungen der Jordan-Normalform für Matrizen auf reguläre und singuläre Matrizenschaaren aufgefasst werden.

Veröffentlichungen:

  • Röbenack, K.; Reinschke, K. J.: Digraph based determination of Jordan block size structure of singular matrix pencils.
    Linear Algebra and its Applications, 1998, 275-276, S. 495-507.
  • Reinschke, K. J.; Röbenack, K.: Graph-theoretic determined Jordan-block-size structure of regular matrix pencils.
    Linear Algebra and its Applications, 1997, 263, S. 333-348.
  • Reinschke, K. J.; Röbenack, K.; Wiedemann, G.: Strukturelle Analyse von Deskriptorsystemen mit Hilfe von Digraphen.
    Automatisierungstechnik - at, 1998, 46(1), S. 22-31.
  • Reinschke, K. J.; Röbenack, K: Graphentheoretische Bestimmung des strukturellen Index von Algebro-Differential-Gleichungssystemen für die Netzwerkanalyse. In: Mathis, W.; Noll, P. (Hrsg.): Neue Anwendungen theoretischer Konzepte in der Elektrotechnik mit Gedenksitzung zum 50. Todestag von Wilhelm Causer, VDE-Verlag, 1996, S. 207-214. Tagungsband der 2. ITG-Diskussionssitzung, Berlin, 21. und 22. April 1995.

Singuläre Deskriptorsysteme und verallgemeinerte Inverse

Im linear-zeitinvarianten Fall sind singuläre Deskriptorsysteme dadurch gekennzeichnet, dass bei ihnen die die Systemdynamic beschreibende Matrizenscharr sE-A nicht invertierbar (d. h. nicht regulär, sondern singulär) ist. Das trifft beispielsweise auf rechteckige Matrizenschaaren zu. Wenn die klassische Inverse der Matrizenschaar sE-A nicht existiert, kann man auf verschiedene verallgemeinerte Inverse (Pseudoinverse) zurückgreifen.

Veröffentlichungen:

Indexerhöhung in der analogen Fehlersimulation

Veröffentlichungen:

  • Straube, B.; Reinschke, K.; Vermeiren, W.; Röbenack, K.; Müller, B.; Clauss, C.: On the Fault-Injection-Caused Increase of the DAE-Index in Analogue Fault Simulation. Proc. Fourth IEEE European Test Workshop (ETW'99), ISBN: 0-7695-0390-X.
  • Straube, B.; Reinschke, K. J.; Vermeiren, W.; Röbenack, K.; Müller, B.; Clauß, C.: DAE-Index Increase in Analogue Fault Simulation.
    In: Merker, R.; Schwarz, W. (Hrsg.): System Design Automation. Fundamentals, Principles, Methods, Examples. Kluwer Academic Publishers, Boston, Dordrecht, London, 2001, S. 221-232.

Regularisierung von Netzwerkgleichungen

In manchen Fällen können Überidealisierungen zu Netzwerkgleichungen mit höherem Index führen, deren Simulation sehr problematisch ist. Etliche Forschergruppen haben daher Methoden entwickelt, um die erzeugten und zu simulierenden Differential-Algebraischen Gleichungen zu regularisieren bzw. den Index auf 1 zu reduzieren. Ein anderer, von uns entwickelter Zugang besteht darin, das Netzwerkmodell in möglichst einfacher Weise durch Einfügen zusätzlicher Widerstände so zu modifizieren, das die unterlagerten Netzwerkgleichungen den Index 1 aufweisen.

Vorgehen bei einer Index-1-Reduktion auf Netzwerkebene

Veröffentlichungen:

  • Röbenack, K.; Reißig, G.: Sukzessive Index-Reduktion elektrischer Netzwerke mit Hilfe einer minimalen Anzahl von Zusatzelementen.
    In: Tagungsband 43. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, Band 3, Ilmenau, 1998, S. 192-197.
  • Röbenack, K.; Reißig, G.: Index one regularization of networks using a minimum number of additional elements.
    In: Proc. Workshop on System Design Automation (SDA'98), Dresden, 1998, S. 144-151.
  • Röbenack, K.; Reißig, G.: On Optimal Network Regularization.
    In: Proc. European Conference on Circuit Theory and Design (ECCTD'97), Budapest, 1997, Band 2, S. 457-461.