Beobachterentwurf für nichtlineare Zustandssysteme mit Hilfe des Automatischen Differenzierens

Röbenack, K.:

Beobachterentwurf für nichtlineare Zustandssysteme mit Hilfe des Automatischen Differenzierens.
Shaker Verlag, Aachen, 2003 (ISBN: 978-3-8322-1069-4)

 

Viele technische Prozesse werden durch gewöhnliche Differentialgleichungen modelliert. Diese Differentialgleichungen entstehen beispielsweise durch die Bewegungsgleichungen in der Mechanik oder bei elektrischen Netzwerken mit Kapazitäten bzw. Induktivitäten. In dieser Arbeit wird von einer Beschreibung durch ein sog. Zustandsgleichungssystem
\begin{equation}
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{F}(\mathbf{x} (t),t,\mathbf{u} (t)),\quad \mathbf{y} (t)=\mathbf{H}(\mathbf{x} (t),t,\mathbf{u} (t))
\end{equation} mit stetig differenzierbaren Abbildungen \( \mathbf{F}:\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{m}\to \mathbb{R} ^{n} \) und \( \mathbf{H}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{m}\to \mathbb{R} ^{p} \) sowie der unabhängigen Variablen \( t \) ausgegangen. Die Aufgabe eines Zustandsbeobachters besteht darin, den Zustand $\mathbf{x}$ aus dem Verlauf des Ausgangs $\mathbf{y}$ zu schätzen. Der Entwurf eines solchen Beobachters ist bei nichtlinearen Systemen sehr aufwendig und wird typischerweise mit Computeralgebrasystemen (CAS) durchgeführt. Das Buch widmet sich dem Beobachterentwurf mit Hilfe des automatischen oder algorithmischen Differenzierens.

 

Gliederung:

  • Kapitel 1: Einleitung.
  • Im Kapitel 2 werden hinreichende Beobachtbarkeitsbedingungen vorgestellt und die dabei auftretenden Beobachtbarkeitsmatrizen angegeben.
  • Verschiedene, aus der Fachliteratur bekannte Entwurfsverfahren werden im Kapitel 3 vorgestellt. Den dort beschriebenen Verfahren ist gemeinsam, daß die Bebachtbarkeitsmatrix direkt beim Beobachterentwurf zum Tragen kommt. Ein besonderes interesse gilt einerseits dem High-Gain-Beobachter (Gauthier, Hammouri, Othman 1992) und dem erweiterten Luenberger-Beobachter (Bestle, Zeitz 1983), dessen beobachterverstärkung nach der nichtlinearen Ackermann-Formel berechnet wird.
  • Kapitel 4 ist dem Automatischen Differenzieren gewidmet. Dabei werden grundlegende Begriffe und Notationen zum Verständnis von Vorwärts- und Rückwärtsmodus eingeführt. Die Berechnung höherer Ableitungen in Verbindung mit univariaten Taylorreihen wird gesondert behandelt.
  • Kapitel 5 befaßt sich mit der Nutzbarmachung des Automatischen Differenzierens für die im Kapitel 3 beschriebenen Entwurfsverfahren.
  • Anwendungsbeispiele werden im Kapitel 6 diskutiert.
  • Kapitel 7 faßt die erzielten Ergebnisse zusammen.
  • Anhang A: Symbolverzeichnis.
  • Anhang B: Herleitung der Ackermann-Formel für lineare zeitvariante und zeitinvariante Systeme.