Beitrag zur Analyse von Deskriptorsystemen

Röbenack, K.: Beitrag zur Analyse von Deskriptorsystemen. Shaker-Verlag, Aachen, 1999 (ISBN: 978-3-8265-6795-7)

 

Die Dissertation liefert einen Beitrag zur Analyse singulärer und regulärer Deskriptorsysteme. Als wesentliches Hilfsmittel kommen Digraphen (gerichtete Graphen) zum Einsatz. Die in dieser Arbeit durchgeführten Untersuchungen beziehen sich vorrangig  auf lineare zeitinvariante Deskriptorsysteme der Form
\begin{eqnarray}
    E\,\dot{x}(t)&=&A\,x(t)+B\,u(t)\\
  y(t)&=&C\,x(t)
\end{eqnarray} mit $E,A\in\mathbb{R}^{l\times n}$, $B\in\mathbb{R}^{l\times m}$ und $C\in\mathbb{R}^{p\times n}$. Ein Spezialfall dieser Systemklasse sind die linearen Zustandsgleichungssysteme. Bei ihnen ist die Matrix $E$ die ${n\times n}$-Einheitsmatrix. Zustandsgleichungssysteme haben seit den sechziger Jahren eine starke Verbreitung in der Regelungstechnik gefunden. Für lineare Zustandsgleichungssysteme ist eine umfangreiche mathematische Theorie entstanden. Hier soll aber der allgemeinere Fall mit einer beliebigen, im allgemeinen singulären Matrix $E$ betrachtet werden.

 

Gliederung:

  • Kapitel 1: Einleitung
  • Im Kapitel 2 werden zunächst die mathematischen Grundlagen aus der Theorie der Matrizenscharen bzw. aus der Graphentheorie erörtert. Es folgen Aussagen zur Strukturuntersuchung singulärer Matrizenscharen mit Hilfe von Digraphen. Die Anwendung dieser Ergebnisse für die Analyse regulärer Deskriptorsysteme wird hinsichtlich regelungstechischer Fragestellungen diskutiert.
  • Kapiteln 3 befaßt sich mit dem Übertragungsverhalten singulärer Deskriptorsysteme. Es werden verschiedene Möglichkeiten herausgearbeitet, um verallgemeinerte Übertragungsfunktionsmatrizen unter Ausnutzung  graphentheoretischer Strukturen zu berechnen. Aus der dabei entwickelten mathematischen Theorie lassen sich Vorschläge für gezielte Modellmodifikationen ableiten, wobei die Sicherung der Lösbarkeit bzw. eine Regularisierung des betrachteten Deskriptorsystems im Vordergrund stehen.
  • Kapitel 4 beschäftigt sich mit dem Einfluß der Kronecker-Struktur singulärer Matrizenscharen auf analytische und numerische Eigenschaften von verallgemeinerten Inversen bzw. verallgemeinerten Übertragungsfunktionen. Neben der Moore-Penrose-Pseudoinversen und der Drazin-Inversen wird auch die im Kapitel 3 definierte Klasse graphentheoretisch leicht zu interpretierender verallgemeinerter Inverser untersucht.
  • Kapitel 5 faßt die erzielten Ergebnisse zusammen.