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Regler- und Beobachterentwurf mit algorithmischem Differenzieren

Bei vielen technischen Problemstellungen benötigt man für eine differenzierbare Funktion nicht nur die Funktionswerte, sondern auch Werte ihrer Ableitungen. Ein typisches Anwendungsbeispiel sind Optimierungsaufgaben. In vielen Fällen kann man die gewünschten Ableitung mit Computer-Algebra-Software symbolisch berechnen. Benötigt man höhere Ableitungen, dann wächst die Größe der entstehenden Ausdrücke in der Regel exponentiell an. Alternativ kann man Ableitungen numerisch mit Differenzenquotienten berechnen. Die Genauigkeit der Ableitung hängt maßgeblich von der gewählten Schrittweite ab. Selbst bei einer optimalen Schrittweite verliert die so gewählte Ableitung gegenüber dem Funktionswert an Genauigkeit.

Beim algorithmischen oder automatischen Differenzieren (AD) muss die zu differenzierende Funktion als Algorithmus in einer geeigneten Programmiersprache vorliegen. Die Ableitung wird ähnlich wie beim symbolischen Differenzieren durch systematisches Anwenden der Ableitungsregeln bestimmt. Allerdings werden die Zwischenergebnisse nicht als symbolischer Teilausdruck weitergereicht, sondern als Gleitkommazahl. Im Programmpaket ADOL-C wird das algorithmische Differenzieren mit Hilfe von Operatorüberladung implementiert. mehr

Reglerentwurf für lineare und nichtlineare Systeme

Bei nichtlinearen Systemen können zahlreiche Phänomene auftreten, die in der Welt der linearen Systeme nicht möglich sind. Daher gestaltet sich die Regelung nichtlinearer Systeme in der Regel auch schwieriger.

Beobachterentwurf für nichtlineare Systeme

Beobachter dienen der Ermittlung schlecht oder nicht messbarer Prozessgrößen. Derartige Einrichtungen zur modellbasierten Rekonstruktion von Prozessgrößen werden mitunter auch als Software-Sensoren bezeichnet. Die zugrunde liegenden Modelle sind nichtlinear. Es werden sowohl klassische Zustandsbeobachter als auch Beobachter zur Rekonstruktion der Eingangssignale untersucht. Die entwickelten Entwurfsverfahren kombinieren differential-geometrische Zugänge mit High-Gain-Ansätzen. mehr

Deskriptorsysteme (Algebro-Differential-Gleichungen)

Bei vielen technischen Systemen führt die Modellierung in sehr natürlicher Weise auf Kombinationen von gewöhnlichen Differentialgleichungen und algebraischen Nebenbedingungen. Die Differentialgleichungen entstehen z. B. durch die Strom-Spannungs-Relationen von Kapazitäten und Induktivitäten oder durch die Bewegungsgleichungen bei mechanischen Systemen. Als algebraische Nebenbedingungen kommen u. a. die Kirchhoffschen Gesetze (Knotensatz, Maschensatz) in Frage oder holonome bzw. nichtholonome Zwagsbedingungen. Man spricht dann von Deskriptorsystemen bzw. Differential-algebraischen Gleichungen (engl. differential-algebraic equations, DAEs). Aus mathematischer Sicht handelt es sich um implizite gewöhnliche Differentialgleichungen. mehr