Regler- und Beobachterentwurf für nichtlineare Systeme mit Hilfe des Automatischen Differenzierens

Das Buch ist dem Entwurf von Regelungseinrichtungen für nichtlineare Regelstrecken gewidmet. Das Ziel der Arbeit besteht darin, die Methode des Automatischen Differenzierens für die Lösung von Regelungsaufgaben zu erschließen. Es wird erwartet, daß dadurch differentialgeometrisch orientierte Regelungskonzepte auch bei komplizierteren Systemen eingesetzt werden können. Diese Arbeit stellt eine Verbindung zwischen dem Automatischen Differenzieren und der Theorie nichtlinearer Regelungen her. Die entwickelten Ansätze und Berechnungsverfahren werden an einem aus der Literatur entnommenen Spektrum von Entwurfsmethoden erprobt.

Röbenack, K.: Regler- und Beobachterentwurf für nichtlineare Systeme mit Hilfe des Automatischen Differenzierens Shaker Verlag, 2005, ISBN: 978-3-8322-4414-9.

Inhalt

Kapitel 1 motiviert die im Buch behandelte Problemstellung und geht auf die Struktur der Arbeit ein.
Kapitel 2 befaßt sich mit der Berechnung von Ableitungen mit Hilfe des Automatischen Differenzierens. Zunächst werden die grundlegenden Implementierungsansätze, nämlich Vorwärts- und Rückwärtsmodus des Automatischen Differenzierens, erörtert. Von besonderer Bedeutung ist die Berechnung höherer Ableitungen mittels Taylorreihen von Funktionen einer Variablen.
Kapitel 3 ist der Berechnung wichtiger Ableitungsformen der Differentialgeometrie gewidmet. Neben Lie-Ableitungen von Skalarfeldern und deren Gradienten, die spezielle Lie-Ableitungen von Kovektorfeldern sind, werden auch mehrfache Lie-Klammern und deren Berechnung mit Hilfe des Automatischen Differenzierens behandelt. Außerdem wird auf gemischte Lie-Ableitungen, die entlang verschiedener Vektorfelder definiert sind, sowie auf Lie-Ableitungen entlang mehrfacher Lie-Klammern eingegangen. Für eine Prototyp-Implementierung kommt das AD-Tool ADOL-C zum Einsatz. Am Beispiel eines Manipulatormodells wird der Aufwand zwischen symbolischer Berechnung und Automatischem Differenzieren verglichen.
Im Kapitel 4 wird der Reglerentwurf mittels exakter Eingangs-Ausgang-Linearisierung erläutert. Zur Bestimmung der benötigten Zustandsrückführung benötigt man sowohl mehrfache als auch gemischte Lie-Ableitungen. Für Ein- und Mehrgrößensysteme werden unterschiedliche Berechnungskonzepte vorgeschlagen.
Kapitel 5 wendet sich dem Entwurf von Beobachtern mit großer Verstärkung zu, den sogenannten High-Gain-Beobachtern. Dabei werden Beobachtbarkeit, Beobachtbarkeitsmatrizen und Beobachtbarkeitsindizes in die Betrachtungen einbezogen. Die gesuchte Beobachterverstärkung setzt sich aus Gradienten von Lie-Ableitungen zusammen. Diese lassen sich durch die Kombination der verschiedenen Modi des Automatischen Differenzierens berechnen.
Kapitel 6 behandelt den erweiterten Luenberger-Beobachter. Die Beobachterverstärkung, deren Herleitung auf der Beobachter-Normalform basiert, läßt sich mittels einer Verallgemeinerung der Ackermann-Formel für nichtlineare Systeme bestimmen. In vielen Fällen ist eine symbolische Berechnung der Beobachterverstärkung des erweiterten Luenberger-Beobachters aufgrund des außerordentlich hohen Rechenaufwandes nicht möglich. Der Einsatz des Automatischen Differenzierens erscheint für diesen Anwendungsfall besonders vielversprechend.
Im Kapitel 7 wird der Beobachterentwurf mittels der erweiterten Linearisierung erläutert. Es handelt sich dabei um ein Gain-Scheduling-Verfahren. Die exakte Berechnung der für den Beobachter benötigten Ausgangsaufschaltung ist nur in Ausnahmefällen möglich. Diese Ausgangsaufschaltung wird als Taylorreihe angesetzt, deren Koeffizientenvektoren sich effizient mit Hilfe des Automatischen Differenzierens bestimmen lassen.
Kapitel 8 widmet sich der numerischen Bestimmung von Referenzeingangstrajektorien zu vorgegebenen Referenzverläufen des Ausgangs. Die berechneten Referenzeingangstrajektorien werden als Vorsteuerung bei Trajektorienfolgeregelungen eingesetzt. Zur Bestimmung der Vorsteuerung bzw. der jeweiligen Referenzeingangstrajektorie benötigt man ein inverses Modell, welches man bei nichtlinearen Systemen oft nur mittels sehr geschickter Umformungen erhält. Es wird ein Ansatz zur numerischen Berechnung von Referenzeingangstrajektorien unter Verwendung des Automatischen Differenzieres vorgestellt.
Kapitel 9 faßt die erzielten Ergebnisse zusammen und gibt Hinweise für weiterführende Untersuchungen.
Anhang A enthält detaillierte Herleitungen und Existenzbeweise zu der im Kapitel 6 behandelten Problematik der Ackermann-Formel, des Normalform- und erweiterten Luenberger-Beobachters.
Anhang B gibt eine Übersicht über die verwendeten mathematischen Symbole und führt die in der Arbeit zitierte Software auf.